8  Časová hodnota peněz

Studijní materiály
  • Dahlquist, J. R., &; Knight, R. (2022). Principles of finance. OpenStax, Rice University. https://openstax.org/details/books/principles-finance
    • Chapter 7 - Time Value of Money I: Single Payment Value
    • Chapter 8 - Time Value of Money II: Equal Multiple Payments
    • Chapter 9 - Time Value of Money III: Unequal Multiple Payment Values

Výstupy z učení:

  1. Vysvětlit vliv času na hodnotu peněz.
  2. Ovládat výpočet budoucí hodnoty pomocí jednoduchého i složeného úročení.
  3. Dokázat spočítat současnou hodnotu peněz.
  4. Chápat pojem efektivní úroková míra.
  5. Umět využívat vzroce pro výpočet anuity.

8.1 Úvod do časové hodnoty peněz

Definice

Časová hodnota peněz (TVM, time value of money) \(\rightarrow\) peníze dnes jsou hodnotnější než stejné množství peněz získané v budoucnosti.

Hlavní důvody:

  1. preference okamžité spotřeby
  2. riziko platebního selhání
  3. potencíál zhodnocení (investování)

8.1.1 Proč je TVM důležitá?

  • Celý svět financí je postaven na TVM.
  • Základní koncept každého finančního rozhodnutí (např. spotřeba, investice, půjčky, zajištění na důchod, atd.)
  • Umožňuje lépe se rozhodovat v běžném životě.

8.1.2 Základní pojmy

  • Úrok​ \(\rightarrow\) rozdíl mezi vypůjčenou a vrácenou částkou vyjádřený v peněžních jednotkách.​
  • Úročení ​\(\rightarrow\) způsob započítávání úroků.
  • Úroková míra ​\(\rightarrow\) odměna za zapůjčení kapitálu vyjádřená v procentech.​
  • Úroková sazba ​\(\rightarrow\) konkrétní úroková míra pro určitou operaci (míra vztažená ke konkrétnímu finančnímu produktu)​.

Fisherova rovnice

  • Nominální úroková míra​\(\rightarrow\) sjednaná úroková míra mezi vypůjčovatelem a poskytovatelem kapitálu.​
  • ​Reálná úroková míra ​\(\rightarrow\) upravená nominální úroková míra o vliv inflace.​
  • Aktuální informace o inflaci jsou na stránkách ČNB. \[ i = r + \pi \]
    • \(i \dots\) nominální úroková míra
    • \(r \dots\) reálná úroková míra
    • \(\pi \dots\) očekávaná inflace
Příklad

Úroková sazba na spořicím účtu v bance je 4%. Jaká je reálná úroková míra pokud očekáváme inflaci ve výši 2.5%?

\[ i = r + \pi \]

\[ 4\% = r + 2.5\% \]

\[ r = 4\% - 2.5\% = 1.5\% \]

8.2 Budoucí hodnota peněz

Definice

Budoucí hodnota (FV, future value) peněz \(\rightarrow\) hodnota peněz v určitém čase v budoucnosti.

Příklad

Investujete 100 Kč na spořicí účet v bance, která slibuje roční úrokovou sazbu 8%. Budoucí hodnota peněz je celková naspořená částka za určitý čas. Budoucí hodnota 100 Kč za jeden rok je 108 Kč.

8.2.1 Jednoduché úročení

Definice

Jednoduché úročení \(\rightarrow\) úročí se pouze jistina (počáteční vklad).

Příklad

Investujete 100 Kč na spořicí účet v bance, který slibuje roční úrokovou sazbu 8%. Jaká bude hodnota investice za 2 roky?

\[ FV = 100 + 8 + 8 = 116 \]

  • Obecný vzorec pro jednoduché úročení: \[ FV = PV \times (1 + [r \times n]) \]
    • \(r \dots\) úroková sazba
    • \(n \dots\) počet úrokových období
    • \(PV \dots\) současná hodnota peněz
Příklad

Kolik naspoříte s použitím jednoduchého úročení za 15 let při roční úrokové sazbě 8% a 10%? Počáteční vklad je 100 Kč. \[ FV = 100 \times (1 + [0.08 \times 15]) = 220 \] \[ FV = 100 \times (1 + [0.10 \times 15]) = 250 \]

8.2.2 Složené úročení

Definice

Složené úročení \(\rightarrow\) úročí se jistina a všechny průběžně získané úroky.

Příklad

Investujete 100 Kč na spořicí účet v bance, který slibuje úrok 8% ročně. Po prvním roce vložíte získané peníze zpět na účet. Kolik budete mít za 2 roky?

\[ FV = PV \times (1 + r) \times (1 + r) = 100 \times 1.08 \times 1.08 = 116.64 \]

  • Obecný vzorec pro složené úročení: \[ FV = PV \times (1 + r)^n \]
    • \(r \dots\) úroková sazba
    • \(n \dots\) počet úrokových období
    • \(PV \dots\) současná hodnota peněz
Příklad

Kolik naspoříte s použitím složeného úročení za 15 let při roční úrokové sazbě 8% a 10%? Počáteční vklad je 100 Kč a úroky jsou připisovány jednou ročně. \[ FV = 100 \times (1 + 0.08)^{15} = 317.22 \] \[ FV = 100 \times (1 + 0.10)^{15} = 417.72 \]

8.3 Současná hodnota peněz

Definice

Současná hodnota (PV, present value) peněz \(\rightarrow\) hodnota peněz dnes.

Příklad

Investujete 100 Kč na spořicí účtet v bance, která slibuje roční úrokovou sazbu 8%. Současná hodnota peněz je investovaných 100 Kč.

  • Výpočet současné hodnoty se označuje také jako diskontování.
  • Používá se v případech, kdy známe budoucí hodnotu daného peněžního toku a chceme zjistit jeho hodnotu v současnosti.
  • Dlůžitý koncept pro rozhodování o investicích a jejich oceňování.
  • Obecný vzorec pro výpočet současné hodnoty: \[ PV = \frac{FV}{(1+r)^n} \]
    • \(r \dots\) úroková sazba
    • \(n \dots\) počet úrokových období
    • \(FV \dots\) budoucí hodnota peněz
Příklad

Máte možnost investice, která vám za jeden rok vyplatí 100 Kč. Kolik budete ochotni investovat dnes, pokud je běžná úroková sazba 8%? Jak se změní výsledek, pokud dostanete 100 Kč až za 7 let? \[ PV = \frac{100}{(1 + 0.08)^1} = 92.59 \] \[ PV = \frac{100}{(1 + 0.08)^7} = 58.35 \]

8.4 Kratší časové intervaly než jeden rok

  • Obecný vzorec: \[ FV = PV \times (1 + \frac{r}{m})^{n \times m} \]
    • \(m\) je počet úrokových období za rok
    • \(n\) je počet let
Příklad

Kolik naspoříte za 15 let z původní částky 100 Kč při roční úrokové sazbě 8% s použitím složeného úročení pokud se bude úrok připisovat měsíčně/čtvrtletně? \[ FV = 100 \times (1 + \frac{0.08}{12})^{15 \times 12} = 330.69 \] \[ FV = 100 \times (1 + \frac{0.08}{4})^{15 \times 4} = 328.10 \]

8.4.1 Efektivní úroková míra

Definice

Efektivní úroková míra zohledňuje frekvenci úročení a dokáže vyjádřit úrokovou míru ve stejných jednotkách (roční úroková míra).

  • Umožnňuje snadné srovnání úrokových měr s různou frekvencí úročení.
  • Vyjadřuje přesněji skutečné náklady/výnosy.
  • Obecný vzorec efektivní úrokové míry:

\[ EIR = \left(1 + \frac{r}{n}\right)^n - 1 \]

  • \(r \dots\) nominální úroková míra
  • \(n \dots\) počet úrokových období v roce
Příklad

Uvažujme roční úrokovou míru 5%:

  • roční úročení \[ EIR = \left(1 + \frac{0.05}{1}\right)^1 - 1 = 0.05 = 5\% \]

  • půlroční úročení (semi-annual) \[ EIR = \left(1 + \frac{0.05}{2}\right)^2 - 1 = \left(1 + 0.025\right)^2 - 1 = 0.050625 = 5.0625\% \]

  • čtvrtletní úročení (quarterly) \[ EIR = \left(1 + \frac{0.05}{4}\right)^4 - 1 = \left(1 + 0.0125\right)^4 - 1 = 0.050945 = 5.0945\% \]

  • měsíční úročení (monthly) \[ EIR = \left(1 + \frac{0.05}{12}\right)^{12} - 1 = \left(1 + 0.004167\right)^{12} - 1 = 0.051162 = 5.1162\% \]

8.5 Anuita

Definice

Anuita \(\rightarrow\) série stejných peněžních toků v pravidelných intervalech.

  • Anuita polhůtní \(\rightarrow\) peněžní toky nastávají na konci každého období.
  • Anuita předlhůtní \(\rightarrow\) peněžní toky nastávají na začátku každého období.

8.5.1 Budoucí hodnota anuity

Příklad

Na konci každého roku investujete 100 Kč po dobu tří let. Investice se zhodnocuje úrokem 8%. Jaká bude budoucí hodnota investice? (anuita polhůtní) \[ FV = 100 \times 1.08^2 + 100 \times 1.08^1 + 100 \times 1.08^0 = 324.64 \]

  • Obecný vzorec pro polhůtní anuitu: \[ \text{FVA} = \text{PMT} \times \frac{(1 + r)^n - 1}{r} \]

  • Obecný vzorec pro předlhůtní anuitu: \[ \text{FVA} = \text{PMT} \times \frac{(1 + r)^n - 1}{r} \times (1 + r) \]

    • FVA (future value of an ordinary annuity)
    • PMT (periodic equal payment)
  • Výpočet s využitím pohlhůtní anuity.
Úroková sazba (%) Jednorázová investice 10 000 Kč Pravidelná investice 10 000 Kč ročně
5 94.4 36.7
10 48.3 25.2
15 33.0 19.8
20 25.3 16.7

8.5.2 Perpetuita

Definice

Perpetuita \(\rightarrow\) nekonečná série peněžních toků.

  • Specifický typ anuity s neomezenou dobou trvání.
  • Často se používá pro oceňování preferenčních akcií.
  • Obecný vzorec pro současnou hodnotu perpetuity: \[ PV = \frac{C}{r} \]
    • \(C \dots\) konstantní peněžní tok přijatý za každé období
    • Vzorec předpokládá, že první platba je provedena na konci prvního období, peněžní toky jsou konstantní a pokračují na dobu neurčitou.
Příklad

Zvažujete investování do perpetuity, která slibuje platbu 500 Kč na konci každého roku na dobu neurčitou a úroková sazba je 5%. Současná hodnota této perpetuity je: \[ PV = \frac{500}{0.05} = 10000 \] Přijatelná cena za tuto perpetuitu je až 10 000 Kč.

8.5.3 Současná hodnota anuity

Příklad

Máte možnost investice, která vám za 1 rok vyplatí 1000 a poté ještě další 2 roky budete dostávat stejnou částku. Kolik jste ochotni za danou investici zaplatit pokud je běžná úroková sazba 8%? \[ PV = 1000 \times \frac{1}{1,08^1} + 1000 \times \frac{1}{1,08^2} + 1000 \times \frac{1}{1,08^3} = 2577 \]

  • Obecný vzorec pro polhůtní anuitu: \[ \text{PVA} = \text{PMT} \times \frac{1 - \frac{1}{(1 + r)^n}}{r} \]

  • Obecný vzorec pro předlhůtní anuitu: \[ \text{PVA} = \text{PMT} \times \frac{1 - \frac{1}{(1 + r)^n}}{r} \times (1+r) \]

    • PVA (present value of an ordinary annuity)
    • PMT (periodic equal payment)

8.6 Příklady k procvičení

8.6.1 Základní pojmy

  1. Jaká je reálná úroková míra na termínovaném účtu, pokud je nominální úroková míra na tomto účtu 12.5% a míra inflace činí 10.5%.​

2%

  1. Reálná úroková míra činí -3%, nominální úroková míra byla 5,5%. Jaká byla v daném roce výše inflace v ekonomice?

8,5%

​ 3. Jaká je výše reálné úrokové míry, pokud víme, že nominální úroková míra je 4% a očekávaná míra inflace v daném roce je 10%.

-6%

  1. Investujete do dluhopisu, který vyplácí roční úrok 2,65%. Jaká bude vaše reálná úroková míra, pokud inflace dosahuje hodnoty 7,85% ročně?

-5,26%

  1. Jakou budete požadovat nominální úrokovou sazbu, pokud chcete získat reálné zhodnocení investice 7,61% p.a. a očekáváte inflaci 4,42%? Investici navíc považujete za rizikovou a chcete prémii za riziko ve výši 2.26%.

14,29%

8.6.2 Jednoduché úročení

  1. Termínovaný vklad nabízí jednoduché úročení na dobu 3 let s úrokem 7,2%. Kolik naspoříte při vkladu 150 000 Kč?

182 400 Kč

  1. Termínovaný vklad nabízí jednoduché úročení na dobu 5 let s úrokem 3,4%. Kolik naspoříte při vkladu 300 000 Kč?

351 000 Kč

  1. Investujete 72 000 Kč do termínovaného vkladu s roční úrokovou sazbou 1.4%. Úroky jsou vypláceny jednou ročně a úročí se pouze jistina. Kolik budete mít naspořeno za 17 let?.

89 136 Kč

8.6.3 Složené úročení

  1. Termínovaný vklad nabízí složené úročení na dobu 8 let s úrokem 6,3%. Kolik naspoříte při vkladu 1 000 000 Kč?

1 630 294,70 Kč

  1. Termínovaný vklad nabízí složené úročení na dobu 5 let s úrokem 4%. Kolik naspoříte při vkladu 300 000 Kč?

364 995,87 Kč

  1. Investujete 65 000 Kč na spořicí účet v bance se sazbou 9.5% p.a. Úroky jsou vypláceny jednou ročně a úročí se vždy jistina i s úroky. Kolik budete mít naspořeno za 5 let?.

102 325,52 Kč

  1. Klient si uložil na spořicí účet částku 90 000 Kč při úrokové míře 4,5% p.a. Kolik si bude moci vyzvednout po 5 letech, pokud víme, že úroky jsou připisovány jednou ročně?

112 156,4 Kč​

  1. Jaká byla roční úroková sazba z vkladu 20 000 Kč. Pokud za 4 roky máme na účtu 23 400 Kč. Úroky byly připisovány jednou ročně a byly ponechány na účtu k dalšímu zhodnocení.

4%​

8.6.4 Diskontování

  1. Investice vám za 5 let vyplatí 13 000 Kč. Jaká je současná hodnota této investice, pokud požadujete výnos 1,31% p.a.?

12 180,97 Kč

  1. Banka odkoupila směnku v hodnotě 500 000 Kč s dobou splatnosti 1 rok. Jakou banka používá diskontní sazbu, pokud za směnku vyplatila 480 000 Kč?

4,17%​

  1. Dlužník postupuje bance směnku na 100 000 Kč a zavazuje se ji splatit za 3 měsíce. Jakou má banka diskontní sazbu, pokud dlužník obdrží úvěr ve výši 97 000 Kč.

12,96%​

8.6.5 Kratší časové intervaly než jeden rok

  1. Investujete 99 000 Kč na spořicí účet v bance s roční úrokovou mírou 7,24%. Úroky jsou vypláceny čtvrtletně a úročí se vždy jistina i s úroky. Kolik budete mít naspořeno za 12 let?

234 194,23 Kč

  1. Investujete 85 000 Kč na spořicí účet v bance s roční úrokovou mírou 14,23%. Úroky jsou vypláceny měsíčně a úročí se vždy jistina i s úroky. Kolik budete mít naspořeno za 15 let?

70 9524,21 Kč

  1. Vypočítejte dobu splatnosti při jednoduchém úročení, pokud vklad ve výši 3 960 Kč vzrostl na 4 000 Kč. Úroková míra činí 2 % p.a.

0,505 roku

  1. Při jaké úrokové sazbě bude činit úrok z vkladu 100 000 Kč na 7 měsíců 1 500 Kč?

2,57%

  1. Na dvouletý termínovaný vklad jste uložili 10 000 Kč. Úroky jsou připisovány pololetně. Kolik si budete moci vybrat za 2 roky, pokud je úroková sazba 4% p.a.

10 824,3 Kč

  1. Při jaké výši úrokové sazby se zúročí částka za 5 let z 50 000 na 70 000 Kč. Úroky jsou připisovány čtvrtletně.

6,78%

  1. Jaký bude rozdíl za 3 roky v konečné výši kapitálu, pokud byl počáteční vklad 120 000 Kč, úroková míra činí 1,5% p.a., a jsou úroky připisovány​ půlročně nebo ročně.

125 502,3 Kč - 125 481,4 Kč = 20,9 Kč

  1. Chcete si uložit 10 000 Kč na 3 roky. Kterou z následujících možností zvolíte?
    • Úroková míra 12% p.a. a pololetní připisování úroků [12,36%]​
    • Úroková míra 11% p.a. a čtvrtletní připisování úroků [11,46%]​
  • EIR = 12,36%​
  • EIR = 11,46%​
  1. Vaše banka nabízí klientům jeden typ účtu spojený se 4% roční nominální úrokovou mírou a se čtvrtletním úročením. Jeden z Vašich dobrých klientů však požaduje měsíční úročení. Jakou výši roční nominální úrokové sazby mu nabídnete, chcete-li zachovat stejné podmínky pro oba druhy účtů?

3,98%​

8.6.6 Anuita

  1. Na konci každého roku investujete 58 000 Kč po dobu 18 let. Investice se zhodnocuje úrokem 10,61% p.a. Kolik budete mít celkem naspořeno?

2 810 812,27 Kč

  1. Investiční příležitost vyplácí na konci každého roku 13 000 Kč po dobu 19 let. Vaše diskontní sazba je 8,39% p.a. Kolik budete ochotni zaplatit za danou investici?

121 420,01 Kč

  1. Na začátku každého roku investujete 73 000 Kč po dobu 16 let. Investice se zhodnocuje úrokem 8,74% ročně. Kolik budete mít celkem naspořeno?

2 562 563,13 Kč

  1. Investiční příležitost vyplácí na začátku každého roku 39 000 Kč po dobu 19 let. Vaše diskontní sazba je 10,48% ročně. Kolik budete ochotni zaplatit za danou investici?

349 250,70 Kč